几何画板与解题研究

作者:周国华 来源:本站原创 发布时间:2011年02月24日
 

 

几何画板与解题研究
周国华
【摘 要】高中数学研究的主要对象是数量关系和空间形式,即“数”与“形”的两个方面。“数”与“形”两者之间并不是孤立的,而是有着密切的联系。几何画板可以很好的将两者有机的联系起来,对解题有很大的帮助。
【关键词】几何画板 解题研究 数形结合
 
《几何画板》软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件,1996年该公司授权人民教育出版社在中国发行该软件的中文版。正如其名“21世纪动态几何,它能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律,是数学教师制作课件的有利工具。它还有较强的作图功能,笔者还经常用它来辅助解题。特别是一些有关函数的含有参量的问题,可以借助于几何画板做出图象,观察图象的动态变化,进而把“数”的问题转化为“形”的问题,把抽象的问题转化为直观的问题,对解题有很大的帮助。特别是近几年的一些高考试题,可以试用几何画板来帮助分析,如2007年与2008年的有关函数与导数的试题。
1:已知函数),恒成立,求的范围。
,当,函数在上单调递减,恒成立只需,解出,又,所以。令,用几何画板可以得到函数的图象大致如右图。
则只需解得
当然在考试时没有计算机作图,可是
我们可以借助函数的定义域、值域、单调
性、周期性、奇偶性来做图,这样也可以
把问题解决,同时通过平时的训练可以提
高学生的做图能力,使学生对函数的性质
有更深的理解。
2.(2008年四川)已知函数,若直线与函数的图象有个交点,求的取值范围。
解:,,
   当时,,当时,
所以的单调增区间是的单调减区间是
所以的极大值为,极小值为
 
     
所以在的三个单调区间
,直线有的图象各有
一个交点,当且仅当,
因此,的取值范围为
本题在解答时,学生会问为什么分析 的关系,的关系,经过对图象的分析,我们可以看到只要分析在内函数单调增加,且函数值可以比大,在函数单调增加,且函数值可以比小即可,要想让直线与函数的图象的有3个交点,当且仅当
。当然我们不一定比较的关系,的关系,只要说明不是最大值,不是最小值就可以了。
例3:(2008全国Ⅱ)设函数。
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围。
的图象。(图3)这样只要分析函数在处的切线的斜率即可,
这样即得出。在历年的高考
中有一些类似的题也可用这种方法
来解。如
(2006全国Ⅱ)设函数若对所有的都有成立,求实数的取值范围。(解答过程略)
(2007全国Ⅰ)设函数.
(Ⅰ)证明:的导数;
(Ⅱ)若对所有都有,求的取值范围.
解:令,则,
(Ⅰ)若,当时,,
在上为增函数,所以,时,,即.
(Ⅱ)若,方程的正根为,
此时,若,则,故在该区间为减函数.
所以,时,,即,与题设相矛盾.
综上,满足条件的的取值范围是.这是这道题的标准解法,但是学生在解答的过程中易把第二种情况忽略。在分析本题时我先用几何画板做了的图象(如图4),用函数的切线的斜率来解答,进而又做了函数的图象(如图5),可以直接看出结论。以上两道试题与2008年的高考试题极为相似,只不过06年考察的是对数函数,07年考察的是指数函数,08年考察的是三角函数,但从本质上看考察的就是函数的性质。而要想研究性质,最直接的方法就是利用函数的图象,我们在分析这类问题时,提高了学生对图的重视程度,特别是让学生学会利用性质作图、利用图象来分析函数性质,培养了学生的数形结合思想。
                   
 
是实数,函数,如果函数在区间上有零点,求的取值范围。
,当时,,。则只需分析函数。可以很容易得出或。本题在
做图时,要注意图象分三段,特别是在
处的情况要引起注意,通过这
个问题的分析,学生对做图有进一步的
理解,提高学生的做图能力。
 
练习:1.已知函数处取得极值2.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)m满足什么条件时,函数在区间(m,2m+1)上为单调递增函数?
(Ⅲ)若的图象切于P点,求直线l的斜率的取值范围.
2.(2008辽宁)设函数f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0,+)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.
几何画板还可以帮我们研究一些探究性的问题,如2007年辽宁的21题,用几何画板可以很直观的分析出,所给的带参量的函数的变化情况,可以辅助我们从本质上理解这个问题,才能不断提高数形结合能力,提高我们的解题能力。
 
 
 
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